Возведение в иррациональную степень

Основные понятия и положения

Это следует знать:

  1. Возведением числа в натуральную степень называется умножение числа (понятие число и цифра в статье будем считать эквивалентными) само на себя в таком количестве, каков показатель степени (в дальнейшем будем использовать параллельно и просто слово показатель). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. В общем виде это выглядит так: m^n = m*m*m*…*m (n раз).
  2. Нужно учитывать, что при возведении отрицательного числа в натуральную степень, оно станет положительным, если показатель чётный.
  3. Возведение числа в показатель 0 даёт единицу, при условии, что оно не равно нулю. Ноль в нулевой степени считается неопределённым. 17^0 = 1.
  4. Извлечением корня некой степени из числа называется нахождение такого числа, которое при возведении в соответствующий показатель даст искомое. Так, корень кубический из 125 равен 5, поскольку 5^3 = 125.
  5. Если требуется возвести число в дробную положительную степень, то необходимо возвести число в показатель знаменателя и извлечь из него корень показателя числителя. 6^5/7 = корень седьмой степени из произведения 6*6*6*6*6.
  6. Если требуется возвести число в отрицательный показатель, то необходимо найти цифру обратную данной. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.

Свойства

Основные свойства операции возведения в степень:

  • (ab)n=anbn{displaystyle left(abright)^{n}=a^{n}b^{n}}
  • (ab)n=anbn{displaystyle left({a over b}right)^{n}={{a^{n}} over {b^{n}}}}
  • anam=an m{displaystyle a^{n}a^{m}=a^{n m}}
  • anam=an−m{displaystyle left.{a^{n} over {a^{m}}}right.=a^{n-m}}
  • (an)m=anm{displaystyle left(a^{n}right)^{m}=a^{nm}}.

Запись anm{displaystyle a^{n^{m}}} не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть в общем случае левая ассоциативность не равна правой ассоциативности (an)m≠a(nm){displaystyle (a^{n})^{m}neq a^{left({n^{m}}right)}}, результат будет зависеть от последовательности действий, например, (22)3=43=64{displaystyle (2^{2})^{3}=4^{3}=64}, а 2(23)=28=256{displaystyle 2^{left({2^{3}}right)}=2^{8}=256}.

Принято считать запись anm{displaystyle a^{n^{m}}} равнозначной a(nm){displaystyle a^{left({n^{m}}right)}}, а вместо (an)m{displaystyle (a^{n})^{m}} можно писать просто anm{displaystyle a^{nm}}, пользуясь предыдущим свойством. Впрочем некоторые языки программирования не придерживаются этого соглашения.

Возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности): вообще говоря, ab≠ba{displaystyle a^{b}neq b^{a}}, например, 25=32{displaystyle 2^{5}=32}, но 52=25{displaystyle 5^{2}=25} (при этом отдельно изучается уравнение xy=yx{displaystyle x^{y}=y^{x}}).

Ноль в степени ноль

ex=1 ∑n=1∞xnn!{displaystyle e^{x}=1 sum _{n=1}^{infty }{x^{n} over n!}}
ex=∑n=0∞xnn!.{displaystyle e^{x}=sum _{n=0}^{infty }{x^{n} over n!}.}

В любом случае соглашение 00=1{displaystyle 0^{0}=1} чисто символическое, и оно не может использоваться ни в алгебраических, ни в аналитических преобразованиях из-за разрывности функции в этой точке.

Сначала нам следует вспомнить, что такое модуль. Это расстояние на координатной прямой от выбранного нами значения до начала отсчёта (нуля координатной прямой). По определению он никогда не может быть отрицательным.

Возведение в иррациональную степень

При значении цифры в промежутке от нуля до единицы отрицательный показатель даёт увеличение самой цифры. Происходит это из-за уменьшения знаменателя, остающегося при этом положительным.

Рассмотрим на примерах:

  • 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
  • 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

Причём, чем больше модуль показателя, тем активнее растёт цифра. При стремлении знаменателя к нулю – сама дробь стремится к плюс бесконечности.

Сейчас рассмотрим как возводить в отрицательную степень, если цифра меньше нуля. Принцип тот же, что и в предыдущей части, но здесь имеет значение знак показателя.

Опять-таки обратимся к примерам:

  • -19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
  • -29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

В данном случае, мы видим, что модуль продолжает расти, а вот знак зависит от чётности или нечётности показателя.

Следует заметить, если мы возводим единицу, то она всегда останется сама собой. В случае, если нужно возвести число минус один, то при чётном показателе степени она превратится в единицу, при нечётном останется минус единицей.

Для цифр, чей модуль больше единицы, есть свои особенности действий. Прежде всего, нужно целую часть дроби перевести в числитель, то есть перевести в неправильную дробь. Если у нас имеется десятичная дробь, то её необходимо перевести в обычную. Делается это следующим образом:

  • 6 целых 7/17 = 109/17;
  • 2,54 = 254/100.

Теперь рассмотрим, как возвести число в отрицательную степень в данных условиях. Уже из вышеизложенного, мы можем предположить, чего нам ждать от результата вычислений. Так как двойная дробь при упрощениях переворачивается, то модуль цифры будет уменьшаться тем быстрее, чем больше модуль показателя.

Для начала рассмотрим ситуацию, когда данная в задании цифра положительная.

Прежде всего, становится понятно, что конечный результат будет больше нуля, ибо деление двух положительных всегда дает положительное. Снова рассмотрим на примерах как это делается:

  • 6 целых 1/20 в минус пятой степени = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0,0001234;
  • 2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

Как видим, особых сложностей действия не вызывают, и все наши первоначальные предположения оказались истинными.

Теперь обратимся к случаю отрицательной цифры.

Для начала можно предположить, что если показатель чётный, то итог будет положительным, если показатель нечётный, то и результат окажется отрицательным. Все предыдущие наши выкладки в данной части, будем считать действительными и сейчас. И снова разберём на примерах:

  • -3 целых 1/2 в минус шестой степени = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2*2*2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0,000544;
  • -1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

Таким образом, все наши рассуждения оказались верными.

Здесь нужно запомнить что подобное возведение есть извлечение корня степени знаменателя из числа в степени числителя. Все предыдущие наши рассуждения остаются верными и на сей раз. Поясним наши действия на примере:

  • 4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/rad(4^3) = 1/rad64 = 1/8.

В этом случае, нужно иметь в виду, что извлечение корней высокого уровня возможно только в специально подобранном виде и, скорее всего, избавиться от знака радикала (корня квадратного, кубического и так далее) при точных вычислениях вам не удастся.

Все же, подробно изучив предыдущие главы, сложностей в школьных вычислениях ожидать не стоит.

Возведение в иррациональную степень

Следует заметить, что под описание данной главы подходит и возведение с заведомо иррациональным показателем, например, если показатель равен минус ПИ. Действовать нужно по вышеописанным принципам. Однако, вычисления в подобных случаях становятся настолько сложными, что под силу только мощным электронно-вычислительным машинам.

По самому определению cтепeнь некого числa a с n — натуральным показателем — будет равна произведению из n множителей, каждый из которых, в свою очередь, равен числу a. Иначе говоря, чтобы возвести некое число a в n-cтепень, необходимо рассчитать произведение вида a*a…*a, поделенное на n. В связи с этим ясно, что возведение в n-степeнь (то есть натуральную) основывается на умении осуществлять умножение чисел, а как именно это следует делать, можно узнать, ознакомившись с разделом об умножении действительных чисел.

Опишем способы решения на некоторых примерах.

  1. Пример 1. Задача Требуется выполнить возведение числa минус два в cтепень 4. Решение задачи. По понятию cтeпени числa с натуральным показателем, мы имеем следующее: (-2)^4 =(-2)*(-2)*(-2)*(-2). Все очень просто. Теперь остается только лишь произвести умножение целых чисел, получаем: (-2)*(-2)*(-2)*(-2) = 16. Записываем ответ: (-2)^4 = 16.
  2. Пример 2. Определите значение степени: ( 3 2/7 )^2 (три целых две седьмых во второй cтепeни). Решение задачи. Вторая степeнь данного числа равна произведению следующего вида: три целых две седьмых, умноженное на три целых две седьмых. Теперь остаётся лишь вспомнить порядок выполнения умножения смешанных чисел, которые нужно закончить возведением в степeнь. Получаем следующий ответ: 10 39/49 (десять целых, тридцать девять сорок девятых).

Что касаемо возведения иррациональных чисел в натуральную cтепень, то его следует проводить по окончании подготовительного округления основы cтепени до какого-либо разряда, который позволил бы извлечь значение с установленной cтепенью точности.

Пример:

  • К примеру, нам следует возвести в квадрат числo пи.
  • Если его предварительно округлить до сотых, то тогда мы получим 9,8596 (пи квадрат).
  • Если взять просто пи — 3,1415 — возведение в “квадрат” без округления даст следующее значение 9,8695877281.

Здесь следует отметить, что во многих задачах не требуется иррациональные чиcла возводить в степень. Как правило, ответ заносится или в виде самой cтепени, к примеру, (ln6)^3, либо, если есть возможность, проводят преобразование выражения: корень из пяти в cтепени 7 равен ста двадцати пяти корня из пяти.

Это умение базируется на установлении степени с дробным показателем. Понятно, что под a понимается любое положительное чиcло, под m целое, а под n натуральное. Соответственно, нахождение дробной степени m/n числа a можно заменить 2-мя операциями: нахождением целой степени (о чем уже было сказано) и вычислением корня степени n.

Как считают дробную степень числа

На деле равенство на базе свойств корней, как правило, употребляется в следующем виде: а в дробной степени n/m, где n числитель, а m знаменатель. Иначе говоря, при возведении a в дробную cтепень m/n первоначально извлекается корень n-ой cтепени из a, после этого извлеченный результат возводится в степень m (в целую).

Разберем решение примеров возведения в дробную стeпень.

Пример. Вычислите значение 8 в отрицательную степeнь -2/3

Решение. Продемонстрируем 2 приема решения:

  • 1-й прием. Опираясь на определение стeпени с дробным показателем, 8 в отрицательной степeни -2/3 равно корню в третьей cтепени из 8 в -2 cтепeни. Вычисляем значение cтeпeни под знаком корня, после этого исчисляем кубический корень через следующие выражения. Кубический корень из дроби 164 равен дроби: в числителе кубический корень из 1, в знаменателе кубический корень из 64 равно дроби в числителе — корень 3 cтeпeни из единицы в 3 cтeпeни, в знаменателе — корень третьей cтепени из 4 в 3 cтeпeни. Получаем 14.
  • 2-й прием. Согласно определению степени с дробным показателем и на базе свойств корней, правомерны следующие равенства: 8 в -23 степени = куб. корню из 8 в -2 cтeпени = куб. корню из 8 в -2 cтeпени. Теперь следует извлечь и возвести в целую cтeпень. Получается, соответственно, 14.

Заметим, что дробный показатель возможно записать в виде смешанного числа или десятичной дроби.

Тогда его стоит заменить обыкновенной дробью, которая ему соответствует, после чего осуществлять возведение в стeпeнь.

В заключение, отдельно остановимся на возведении в 1-ую cтепень. В таком варианте достаточно иметь понятие, что число a в 1-ой cтепени в сущности и есть это само число a, то есть, а^1=а. Это представляет частный случай формулы при n равном 1. К примеру, (-9)^1= -9.

Возведение в отрицательную степень числа по модулю от нуля до единицы

az={az,z{amp}gt;01,z=0,a≠01a|z|,z{amp}lt;0,a≠0{displaystyle a^{z}={begin{cases}a^{z},{amp}amp;z{amp}gt;0\1,{amp}amp;z=0,aneq ;0\{frac {1}{a^{|z|}}},{amp}amp;z{amp}lt;0,aneq ;0end{cases}}}

Отрицательная степень числа

Результат неопределён при a=0{displaystyle a=0} и z⩽0{displaystyle zleqslant 0}.

Рациональная степень

Обобщение на рациональные степени:
apq=(aq)p,p∈Z,q∈N{displaystyle a^{p over q}=({sqrt[?]{a}})^{p},quad pin mathbb {Z} ,qin mathbb {N} }.

Результат неопределён при a=0{displaystyle a=0} и p/q⩽0{displaystyle p/qleqslant 0}.

Для отрицательных a{displaystyle a} в случае нечётного p{displaystyle p} и чётного q{displaystyle q} в результате вычисления степени получаются комплексные числа. Таким образом, понятие рациональной степени объединяет целочисленную степень и целочисленный корень.

Вещественная степень

Если a⩾0,r{displaystyle ageqslant 0,r} — вещественные числа, причём r{displaystyle r} — иррациональное число, возможно определить ar{displaystyle a^{r}} следующим образом: поскольку любое вещественное число можно приблизить, сверху и снизу, двумя рациональными числами, то есть можно подобрать для r{displaystyle r} рациональный интервал [p,q]{displaystyle [p,q]} с любой степенью точности, то общая часть всех соответствующих интервалов [ap,aq]{displaystyle [a^{p},a^?]} состоит из одной точки, которая и принимается за ar{displaystyle a^{r}}.

Другой подход основан на теории рядов и логарифмов (как определяется для комплексной степени

Потенцирование и антилогарифм

Потенцирование (от нем. potenzieren[К 1]) — нахождение числа по известному значению его логарифма, то есть решение уравнения loga⁡x=b{displaystyle log _{a}x=b}. Из определения логарифма вытекает, что x=ab{displaystyle x=a^{b}}, таким образом, возведение a{displaystyle a} в степень b{displaystyle b} может быть названо другими словами «потенцированием b{displaystyle b} по основанию a{displaystyle a}».

Антилогарифм — вычислительная операция нахождения числа по известному значению логарифма, как самостоятельное понятие используется в математических таблицах[en], логарифмических линейках, микрокалькуляторах. Результат антилогарифма по основанию a{displaystyle a} для числа b{displaystyle b} соответствует возведению в степень ab{displaystyle a^{b}}.

Комплексная степень

ez=exeyi=ex(cos⁡y isin⁡y)=excos⁡y iexsin⁡y.{displaystyle e^{z}=e^{x}e^{yi}=e^{x}(cos y isin y)=e^{x}cos y ie^{x}sin y.}
ab=(reθi)b=(eLn⁡(r) θi)b=e(Ln⁡(r) θi)b.{displaystyle a^{b}=(re^{theta i})^{b}=(e^{operatorname {Ln} (r) theta i})^{b}=e^{(operatorname {Ln} (r) theta i)b}.}

При этом комплексный логарифм — многозначная функция, так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно.

Степень как функция

Поскольку в выражении xy{displaystyle x^{y}} используются два символа (x{displaystyle x} и y{displaystyle y}), то его можно рассматривать как одну из трёх функций:

  • функцию переменной x{displaystyle x} (при этом y{displaystyle y} — параметр). Такая функция называется степенной (частный случай полиномиальной функции);
  • функцию переменной y{displaystyle y} (при этом x{displaystyle x} — параметр). Такая функция называется показательной (частный случай — экспонента);
  • функцию двух переменных.

Полезные формулы

xy=ayloga⁡x{displaystyle x^{y}=a^{ylog _{a}x}}
xy=eyln⁡x{displaystyle x^{y}=e^{yln x}}
xy=10ylg⁡x{displaystyle x^{y}=10^{ylg x}}

Последние две формулы используют для возведения положительных чисел в произвольную степень на электронных калькуляторах (включая компьютерные программы), не имеющих встроенной функции xy{displaystyle x^{y}}, и для приближённого возведения в нецелую степень или для целочисленного возведения в степень, когда числа слишком велики для того, чтобы записать результат полностью.

Употребление в устной речи

Запись an{displaystyle a^{n}} обычно читается как «a в n{displaystyle n}-й степени» или «a в степени n». Например, 104{displaystyle 10^{4}} читается как «десять в четвёртой степени», 103/2{displaystyle 10^{3/2}} читается как «десять в степени три вторых (или: полтора)».

Для второй и третьей степени существуют специальные названия: возведение в квадрат и в куб соответственно. Так, например, 102{displaystyle 10^{2}} читается как «десять в квадрате», 103{displaystyle 10^{3}} читается как «десять в кубе». Такая терминология возникла из древнегреческой математики. Древние греки формулировали алгебраические конструкции на языке геометрической алгебры.

В частности, вместо употребления слова «умножение» они говорили о площади прямоугольника или об объёме параллелепипеда: вместо a2{displaystyle a^{2}}, a3{displaystyle a^{3}} древние греки говорили «квадрат на отрезке a», «куб на a». По этой причине четвёртую степень и выше древние греки избегали[1].

В разговорной речи иногда говорят, например, что a3{displaystyle a^{3}} — «a умноженное само на себя три раза»[2], имея в виду, что берётся три множителя a{displaystyle a}. Это не совсем точно и может привести к двусмысленности, так как количество операций умножения будет на одну меньше: a3=a⋅a⋅a{displaystyle a^{3}=acdot acdot a} (три множителя, но две операции умножения).

Обозначение

История

В Европе сначала степень записывали как произведение — например, x4{displaystyle x^{4}} изображалось как xxxx.{displaystyle xxxx.} Первые попытки сокращённой записи осуществили в XVII веке Пьер Эригон и шотландский математик Джеймс Юм, они записывали x4{displaystyle x^{4}} в виде x4{displaystyle x4} и xIV{displaystyle x^{IV}} соответственно[5]. Начиная с Декарта, степень обозначали «двухэтажной» записью вида ab{displaystyle a^{b}}.

Значок степени

3^2 = 9; 5^2 = 25; 2^3 = 8; 5^3 = 125.

Случается, что циркумфлекс используют и при написании сложных, громоздких математических выражений и формул на бумаге (особенно с громоздким показателем)[источник не указан 28 дней].

Иногда в компьютерных системах и языках программирования значок возведения в степень имеет левую ассоциативность, в отличие от принятого в математике соглашения о правой ассоциативности возведения в степень.
То есть некоторые языки программирования (например, программа Excel) могут воспринимать запись a^b^c, как (a^b)^c, тогда как другие системы и языки (например, Haskell, Perl, Wolfram|Alpha и многие другие) обработают эту запись справа налево: a^(b^c),
как это принято в математике: abc=a(bc){displaystyle a^{b^{c}}=a^{left(b^{c}right)}}.

Возведение числа в отрицательную степень

Некоторые знаки возведения в степень в языках программирования и компьютерных системах:

  • x ↑ y: Алгол, некоторые диалекты Бейсика;
  • x ^ y: Бейсик, J, MATLAB, R, Microsoft Excel, TeX, bc[К 2], Haskell[К 3], Lua, MathML и большинство систем компьютерной алгебры;
  • x ^^ y: Haskell[К 4], D;
  • x ** y: Ада, Bash, Кобол, Фортран, FoxPro, Gnuplot, OCaml, Perl, PL/I, PHP[К 5], Python, REXX, Ruby, SAS, Seed7, Tcl, ABAP, Haskell[К 6], Turing[en], VHDL, ECMAScript[К 7][К 8], AutoHotkey;
  • x⋆y: APL.

Во многих языках программирования (например, в Си и Паскале) отсутствует операция возведения в степень, и для этой цели используют функции.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Медицинский справочник
Adblock detector